Меню

Время безотказной работы прибора имеет показательное распределение

Экспоненциально распределенная случайная величина

На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ — распределенных по показательному (или экспоненциальному) закону.

Плотность распределения величины $X$ с экспоненциальным законом распределения задается формулой:

Функция распределения величины $X$:

Здесь $\lambda$ — единственный параметр данного распределения, полностью определяющий его свойства. В частности, числовые характеристики выражаются через этот параметр: $M(X)=1/\lambda$, $D(X)=1/\lambda^2$.

Экспоненциальное распределение моделирует время между двумя последовательными свершениями события, а параметр $\lambda$ описываетс среднее число наступлений события в единицу времени. Обычно с помощью этого закона описывают: продолжительность обслуживания покупателя, время жизни оборудования до отказа, промежуток времени между поломками и т.п.

В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются показательно распределенные случайные величины.

Примеры решений

Задача 1. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часов. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) выражение его плотности вероятности и функции распределения;
б) вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя.

Задача 2. Известно, что время работы прибора до первого отказа подчиняется показательному распределению со средним значением 1 год. Какова вероятность, что до первого отказа пройдет не менее 2 лет?

Задача 3. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина $X$, распределенная по показательному закону с параметром $\lambda=1/3$ (1/день). Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 5 дней.

Задача 4. Время в годах безотказной работы прибора подчинено показательному закону, т.е. плотность распределения этой случайной величины такова: $f(t)=2e^<-2t>$ при $t\ge 0$ и $f(t)=0$ при $t\lt 0$.
1) Найти формулу функции распределения этой случайной величины.
2) Определить вероятность того, что прибор проработает не более года.
3) Определить вероятность того, что прибор безотказно проработает 3 года.
4) Определить среднее ожидаемое время безотказной работы прибора.

Задача 5. Предполагая, что случайное время обслуживания абонента службой «09» распределено по показательному закону и средняя продолжительность обслуживания составляет 1,5 минуты, найдите вероятность того, что абонент будет обслужен более, чем за 2 минуты.

Задача 6. Длительность телефонного разговора подчиняется показательному закону. Найти среднюю длительность разговора, если вероятность того, что разговор продлится более 5 минут, равна 0,4.

Задача 7. Случайная величина задана плотностью распределения $p(x)=ce^<-3x>$ при $x \gt 0$, и ноль в остальных случаях. Найти постоянную $c$, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Читайте также:  Измерительные приборы для ремонтных работ

Задача 8. Непрерывная случайная величина $\xi$ распределена по показательному закону с параметром $\lambda$, равному номеру варианта 9. Найти плотность распределения случайной величины $\xi$, функцию распределения, построить графики этих функций. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины $\xi$ и вероятность того, что $\xi$ принимает значения, меньшие своего математического ожидания.

Задача 9. Случайная величина $\xi$ распределена по показательному закону с параметром 2. Найти $M_<\xi>$, $D_<\xi>$ вероятность попадания $\xi$ в интервал $(-1;2)$. Нарисовать графики плотности распределения и функции распределения $\xi$.

Задача 10. Известно, что $Х$ распределено по экспоненциальному закону $Exp(\lambda)$. Найдите вероятность события $|Х — МХ | \lt 3\sigma$ («правило $3\sigma$» для показательного распределения).

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Источник

1.27. Показательное распределение. Функция надежности

Пусть некоторый природный или искусственный объект начинает функционировать в момент времени T=0. В качестве такого объекта можно, например, рассматривать живое существо с момента его рождения или с любого другого этапного для него момента; работающий механизм или элемент этого механизма с момента его включения, и т. д.

Пусть Т – время безаварийного функционирования этого объекта (для живого существа это может быть время до утраты пригодности его к тому или иному виду деятельности или до его смерти; для механизма это может быть время до первой его поломки или до окончательного выхода его из строя, и т. д.). Согласно своего смысла, Т – непрерывная случайная величина, возможные значения T которой могут быть, в принципе, любыми неотрицательными числами: .

Поставим теперь естественный вопрос: какова вероятность того, что для данного объекта будет иметь место неравенство , где T – некоторое заданное время? То есть поставим вопрос: какова вероятность того, что за время T функционирующий объект не выйдет из строя? Вероятность эту обозначим символом R(T) и назовем Функцией надежности:

(4.22)

Очевидно, что для любого функционирующего объекта указанная вероятность R(T) сохранения своей работоспособности в течение времени T будет убывать с возрастанием T, Начиная с 1 при T=0, и стремиться к нулю при . Более того, как показали многочисленные практические исследования самых разнообразных объектов (технических устройств; природных образований; живых организмов и т. д.) это убывание функции надежности R(T) осуществляется приблизительно по показательному (экспоненциальному) закону

(4.23)

Такое поведение функции надежности R(T) называют еще Показательным законом надежности (рис.2.16).

Выясним смысл параметра в случае показательного закона надежности. Для этого найдем плотность вероятности и основные числовые характеристики () случайной величины Т.

Читайте также:  Подбор отопительного прибора по площади

Начнем с нахождения . Ее будем искать, исходя из определения (3.1) плотности вероятности непрерывной случайной величины.

Пусть T – некоторое фиксированное значение величины Т (T – момент выхода объекта из строя). Окружим это значение некоторым частичным промежутком [] длиной и рассмотрим вероятность того, что случайная величина Т примет значение внутри этого промежутка. То есть рассмотрим вероятность того, что объект выйдет из строя в какой-то момент времени, принадлежащий этому промежутку (рис.2.17).

Согласно смысла функции надежности, R(T1) и R(T2) – это вероятности того, что объект выйдет из строя после моментов времени T1 и T2 соответственно (рис.2.18). Вероятность R(T1) больше вероятности R(T2) на , откуда следует:

(4.24)

Тогда по формуле (3.1) получаем:

(4.25)

– плотность вероятности случайной величины Т, представляющей собой время безаварийного функционирования объекта, имеющего показательный закон надежности. График этой плотности вероятности изображен на рис.2.19. Кстати, распределение указанной случайной величины Т носит название Показательного распределения.

Зная плотность вероятности , можем теперь по формулам (3.9)-(3.14) найти и числовые характеристики () случайной величины Т (получите их самостоятельно):

(4.26)

Здесь TСр Среднее время безаварийного функционирования объекта. Через TСр можно выразить и функцию надежности (4.23) случайной величины Т, и плотность ее вероятности (4.25):

(4.27)

В заключение отметим следующий важный факт: вероятность безаварийной работы любого объекта на интервале времени длительности T, если время Т безаварийной работы этого объекта имеет показательное распределение, Не зависит от начала рассматриваемого интервала, а зависит только от его длительности T.

Для доказательства этого утверждения введем следующие события (рис. 2.20):

А – безотказное функционирование объекта на интервале времени ();

В – безотказное функционирование объекта на интервале времени ();

С – безотказное функционирование объекта на интервале времени ():

Очевидно, что С=АВ, откуда следует:

(4.28)

(4.29)

Где R(T) – вероятность безотказного функционирования объекта на интервале времени (), а – вероятность безотказного функционирования объекта на интервале времени (). Эти вероятности равны, что и доказывает заявленный выше факт.

Отметим, что случайные величины, имеющие показательное распределение (показательный закон надежности), тесно связаны с событиями простейшего (пуассоновского) потока. Действительно, согласно формуле (2.8) главы 1 вероятность того, что за время T не появится ни одного из событий простейшего потока, найдется по формуле:

(4.30)

Здесь — интенсивность пуассоновского потока (среднее число событий потока, появляющихся за единицу времени). Тогда – среднее время, проходящее между появлениями отдельных событий потока. С учетом этого вероятность (4.30) примет вид:

Читайте также:  Набор столовых приборов уралочка 48 предметов с полным декоративным покрытием

(4.31)

Но точно такой же вид, согласно (4.27), имеет показательная функция надежности R(T), определяющая вероятность безаварийной работы объекта в течение времени T. Таким образом, время Т безаварийной работы объекта при показательном законе надежности и время Т, проходящее между соседними событиями простейшего потока, имеют одно и то же распределение. А именно, показательное распределение с плотностью вероятности , описываемой формулой (4.27).

Пример 3. Среднее время безотказной работы некоторого устройства, имеющего показательный закон надежности, равно 50 часам. Определить вероятность того, что устройство безотказно проработает 100 часов.

Решение. Пусть Т – время безотказной работы устройства. Так как среднее значение этого времени TСр=50 часам, то функция надежности R(T) для рассматриваемого устройства имеет, согласно (4.27), вид:

(T В часах, T0)

Тогда, согласно (4.22), получаем искомую вероятность:

1. Интервал движения троллейбусов составляет 5 минут. Какова вероятность того, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать очередного троллейбуса не менее трех минут?

2. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок со средней случайной ошибкой 20 г ( в ту или другую сторону). Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

3. Норма высева семян на 1 га равна 200 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10 кг. Определить количество семян, обеспечивающих посев на площади 100 га с гарантией (вероятностью) 0,95.

4. Станок-автомат производит цилиндрические болванки. Проектный размер диаметра болванок составляет 100 мм. Известно, что станок производит в среднем 2 % болванок диаметром более 101 мм. Болванка считается годной, если ее диаметр находится в пределах от 99 мм до 101 мм. Сколько процентов годных болванок производит станок-автомат?

5. Испытывают два независимо работающих устройства. Длительность безотказной работы обоих устройств имеет показательное распределение. Среднее время безотказной работы первого устройства составляет 40 часов, второго 20 часов. Найти вероятность того, что в течение 10 часов:

А) не откажет первое устройство;

Б) не откажет второе устройство;

В) оба устройства не откажут;

Д) хотя бы одно устройство не откажет.

Ответ: а) 0,78; б) 0,61; в) 0,47; г) 0,09; д) 0,91.

6. В городе рождается в среднем 5 детей в сутки. Считая рождения детей событиями, составляющими простейший поток событий, найти:

А) математическое ожидание;

Б) среднее квадратическое отклонение;

В) коэффициент вариации случайной величины Т – времени между последовательными рождениями детей.

Источник

Adblock
detector